Matrizen und Lie-Gruppen (PDF)

Dies ist eine Einführung in die mathematische Theorie der Lie-Gruppen. Etwa die erste Hälfte des Buches handelt von Matrizengruppen. Abstrakte Konzepte (auch Mannigfaltigkeiten) werden erst in der zweiten Hälfte vorgestellt. Zur Motivation und zum besseren historischen Verständnis sind kurze Texte klassischer Autoren (wie Sophus Lie selbst) mit eingeflochten. Ausserdem gibt es zur Anschaulichkeit ein eigenes Kapitel, das ausschliesslich von diversen geometrischen Transformationsgruppen handelt. Dabei wird konkret auf die klassischen Geometrien eingegangen.

Als Vorkenntnisse werden nur die üblichen Studieninhalte des ersten Jahres im Mathematik- oder Physik-Studium vorausgesetzt, soweit sie die Analysis und die Lineare Algebra betreffen. Das Buch beginnt damit auf sehr elementarem Niveau. Alles andere wird nicht nur eingeführt, sondern alle Sätze werden auch bewiesen. Auf Verständlichkeit wird grosser Wert gelegt. Daher eignet sich das Buch insbesondere als Begleittext zu Lehrveranstaltungen (auch Proseminaren) in den Bachelor-Studiengängen, aber auch im Lehramtsstudium und zum Selbststudium. Das Buch enthält zahlreiche Übungsaufgaben mit Lösungshinweisen oder vollständiger Lösung.



Inhalte:

Zur Motivation und Historie von Transformationsgruppen - Hilfsmittel aus der Analysis

und der Linearen Algebra - Matrizengruppen über R und C - Vektorfelder und

autonome Differentialgleichungen - Gruppen von geometrischen Transformationen -

Exponentialreihe und Logarithmus von Matrizen - Der Tangentialraum im Einselement

und die zugehörige Lie-Algebra -Lie-Unteralgebren und die CBH-Formel - Abstrakte

Lie-Gruppen - Die adjungierte Darstellung und die Lie-Klammer - Linksinvariante

Vektorfelder - 1-Parameter-Untergruppen und die Exponentialabbildung - Homomorphismen

und Unterstrukturen - Quotienten von Lie-Gruppen - Abelsche und nilpotente

Lie-Gruppen - Überlagerungen von Lie-Gruppen- Halbeinfache und kompakte

Lie-Gruppen



Studierende der Mathematik und Physik an Uni