Wo Mathematik und Ästhetik zusammentreffen. Die Juliamenge (PDF)

Studienarbeit aus dem Jahr 2019 im Fachbereich Mathematik - Sonstiges, Note: 14 P., , Sprache: Deutsch, Abstract: Auf dem Gebiet der komplexen Zahlen beeindruckt vermutlich keine Menge mit ihrer graphischen Darstellung ihre Betrachter so sehr, wie die Juliamenge. Was zuerst komplex und nicht greifbar scheint, lässt sich allerdings leicht verstehen und zur Schaffung einzigartiger Kunstwerke nutzen - lesen Sie selbst.

Diese Veranschaulichung, die ebenso namensgebend für die Chaostheorie war, stammt von Edward N. Lorenz, einem amerikanischen Meteorologen. Zwar verwendete er ursprünglich den Flügelschlag einer Möwe, doch dies änderte nichts daran, dass jene Theorie nicht nur in der Meteorologie, sondern auch in anderen Wissenschaften grossen Anklang fand. Der Schmetterlingseffekt besagt, dass kleine Änderungen von den Anfangsbedingungen eines Systems unvorhersehbare und durchaus grosse Auswirkungen haben können.

Genau dieses Phänomen tritt in der Mathematik in dynamischen, determinierten Systemen komplexer Zahlen auf, also in jenen Systemen, deren Verlauf nur von der Wahl des Anfangszustands und nicht von der des Anfangszeitpunktes abhängt. Um den Effekt sichtbar zu machen, entwickelten im 20. Jahrhundert verschiedene Wissenschaftler, wie etwa Benoît Mandelbrot, eine Darstellung komplexwertiger Systeme in der Gauss'schen Zahlenebene, die sogenannten Fraktale. Der Begriff leitet sich vom lateinischen "fractum" ab, was "ein Teil" bedeutet. Ein Fraktal ist also eine Teilmenge der komplexen Zahlen, die durch eine Gleichung und verschiedene Rahmenbedingungen beschrieben wird. Ändert man nun eine dieser Anfangs- oder Rahmenbedingungen minimal, so ist die Veränderung des Aussehens des Fraktals unvorhersehbar und möglicherweise sehr gross.