Randextrema von Funktionen mit zwei Variablen. In runden sowie beliebigen Definitionsbereichen (PDF)

Facharbeit (Schule) aus dem Jahr 2022 im Fachbereich Mathematik - Analysis, Note: 0.67, , Sprache: Deutsch, Abstract: In dieser Facharbeit wurde eine Methode entwickelt, die Randwerte einer dreidimensionalen Funktion zu ermitteln. Es kann ein beliebiger, zweidimensionaler Definitionsbereich gewählt werden, in jeder erdenklichen Form. Nun können die Randmaxima sowie Randfunktionen am Rand des Definitionsbereiches ermittelt werden. Hiermit lassen sich mehrdimensionale Optimierungsprobleme lösen. Die Herangehensweise wird anschaulich und detailliert erklärt und mittels Grafiken und Beispielen belegt.

Soll an einer Funktion mit zwei Variablen (häufig auch als dreidimensionale Funktion bezeichnet) innerhalb eines Definitionsbereiches der absolut höchste oder tiefste Punkt ermittelt werden, so reicht es oft nicht aus, diese Funktion nur auf lokale Extrema zu untersuchen. So hat bereits die einfache Funktion f(x,y)=x^2+y^2 an jedem beliebigen Punkt höhere z-Werte als das lokale Extremum der Funktion, da dieser ein Tiefpunkt ist. Deswegen ist es unerlässlich, auch die Werte der Funktion am Rand des Definitionsbereiches zu ermitteln.

In dieser Facharbeit werde ich eine selbst entwickelte Lösungsstrategie vorstellen, um die höchsten, beziehungsweise tiefsten Werte an dem Rand einer Funktion mit zwei Variablen innerhalb eines runden Definitionsbereichs zu ermitteln. Diese Strategie lässt sich jedoch auch für Definitionsbereiche anwenden, welche nicht rund oder sogar unstetig sind.

Diese Facharbeit wird genau diese Ermittlung der Randwerte einer Funktion mit zwei Variablen in runden, sowie unstetigen Definitionsbereichen anhand einer detaillierten und strukturierten Strategie darstellen. Es wird sowohl die Strategie selbst und ihre Herleitung erklärend veranschaulicht und an Beispielen vorgerechnet. Jegliche neu entstandenen Begriffe werden in dem Definitionsverzeichnis noch einmal erklärt. Bilder und Grafiken, die das Verstehen der einzelnen Rechenschritte unterstützen, sind im Anhang zusätzlich aufgeführt.