Philosophie der Mathematik (PDF)

völlige Bedeutungslosigkeit reicht.

Wir blicken noch einmal zurück, beschränken uns dabei auf einige wesentliche Ansichten, rekapitulieren in Kurzform die Charakterisierungen, über die wir berichtet haben, und ziehen schließlich vor diesem Hintergrund ein Resümee. Rationalistische Elemente, die Strukturen des Denkens berücksichtigen, heben wir im folgenden Abriss nicht gesondert hervor, da zumindest Spuren davon in fast allen Auffassungen zu finden sind.

3.1.1 Überblick über einige Ansichten

Zahlen waren bei den Pythagoreern Elemente einer höheren Welt, die auf die physischen Dinge wirkten und sie formten. Bei Platon stiegen sie ein wenig herab und vermittelten zwischen dem „Himmel der Ideen“ und der materiellen Wirklichkeit. Bei Aristoteles waren sie vollends in der Wirklichkeit angekommen und wurden zu Formkräften in den Dingen, die der Mensch in einer Art Abstraktion erkennt. Euklid charaktisiert die Zahlen kurz und mathematisch knapp als aus Einheiten zusammengesetzte Vielheiten. Für Nikolaus von Kues waren sie durch Vergleich und Unterscheidung gewonnene Rekonstruktionen der Zahlen, die von Gott in die Dinge gelegt sind. Kant verlegt die Zahlen ganz in die rationalen Strukturen des menschlichen Verstandes: Sie sind Schemata des Verstandes, die in der Anschauungsform der Zeit gegebene Einheiten zusammenfassen, und arithmetische Sätze über sie sind synthetische Urteile a priori. Der Empirist Mill bezog eine extreme Gegenposition: Zahlen haben einzig und allein ihren Ursprung in der Realität. Sie sind das Resultat sukzessiv wiederkehrender Empfindungen. Gauß verstand die Zahlen noch von den geometrischen Größen her. Sie waren ihre Vervielfacher. In Cantors Auffassung finden wir idealistische und empiristische Elemente: Zahlen sind einerseits ideelle Realitäten und andererseits Projektionen von Mengen und durch Abstraktion erworben. Dedekind denkt strukturell und hält Zahlen für Abstraktionen von Stellen in unendlichen Zählreihen. Für den Logizisten Frege sind Zahlen als Anzahlen Elemente der Logik, für den Intuitionisten Brouwer inhaltslose Abstraktionen des Zeitempfindens. Für den Konstruktivisten Thiel waren sie fiktive Gegenstände, die durch Abstraktion von den Zählzeichen in unterschiedlichen Zählzeichensystemen entstehen und für den Formalisten Hilbert im Grunde bedeutungslose Zeichen. Piaget und Damerow halten Zahlen für ordinale Bestandteile umfassende – Anzahlen, die in individuellen kognitiven Konstruktionen ausgehend von Handlungen an konkreten Objekten entstehen. In ihren Zeichensystemen, die auf die Zahlen zurückwirken, entdeckt Damerow Elemente einer sozialen und historischen Entwicklung.