Kroneckers Traum (PDF)

Der berliner Mathematiker Leopold Kronecker (1823 – 1891) war ein erklärter Gegner der von Georg Cantor geschaffenen naiven Mengenlehre. Er betrachtete das vorbehaltlose „Zusammenfassen von Dingen zu einem Ganzen“ als unseriös (vgl. die Russelsche Antinomie) und forderte, die Mathematik, viel eher als basiert auf dem Begriff der Menge, „aus den ganzen Zahlen heraus“ zu entwickeln – eine Auffassung, welche er in prägnanter Weise in dem berühmten Ausspruch „Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk“ zum Ausdruck gebracht hat. Er präzisierte: „Und ich glaube auch, dass es dereinst gelingen wird, den gesammten Inhalt aller dieser mathematischen Disciplinen zu „arithmetisieren“, d. h. einzig und allein auf den im engsten Sinne genommenen Zahlbegriff zu gründen, also die Modificationen und Erweiterungen dieses Begriffs – ich meine hiermit namentlich die Herausnahme der irrationalen sowie der continuirlichen Grössen – wieder abzustreifen, welche zumeist durch die Anwendungen auf die Geometrie und Mechanik veranlasst worden sind“.

Letzten Endes hat dann aber doch der „mengentheoretische Ansatz zur Begründung der Mathematik“ das Rennen für sich entschieden (vgl. den ebenfalls berühmten Ausspruch von David Hilbert „Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können“).

Hingegen unternimmt der vorliegende der Metamathematik zuzurechnende Essay, an Kroneckers Standpunkt anknüpfend, eine Grundlegung der Mathematik „aus den eine von 0 ausgehende sich endlos fortsetzende Folge bildenden natürlichen Zahlen heraus“ – „Kroneckers Traum“ wird also in die Wirklichkeit umgesetzt. Es wird zur Beschreibung der natürlichen Zahlen (und somit zur Begründung der Mathematik !) lediglich ein Postulat benötigt; dieses ist metamathematischer Natur in dem Sinne, dass es sich nicht in der Logik erster Stufe formulieren lässt.