Differential- und Integralrechnung III / Heidelberger Taschenbücher Bd.43 (PDF)

Der dritte und letzte Teil unserer Darstellung der Differential­ und Integralrechnung ist der Integrationstheorie im. Rn gewidmet. Er ist gedacht für Mathematik- und Physikstudenten des dritten und vierten Semesters. Zum Verständnis wird der Stoff von Band I und ein kleiner Teil des Stoffes von Band II vorausgesetzt. 1. Wir beginnen (in Kap. I) mit dem Lebesgueschen Integral im Rn. Anstelle des sehr speziellen euklidischen Masses legen wir sogleich allgemeine Radonsche Masse zugrunde und beziehen auf diese Weise das Lebesgue-Stieltjes-Integral und die Integration über das Dirac­ sche b-Mass in unsere Theorie ein. Um den Umweg über das Rie­ mannsche Integral zu vermeiden, führen wir Radonsche Masse als (stetige) Linearformen auf einem Vektorraum von Treppenfunk­ tionen ein, also nicht, wie sonst üblich, auf dem Raum der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger. Natürlich gelangt man auch hierdurch zum üblichen Integralbegriff. in § 2 ist wieder so gefasst, dass sie Die Definition des Integrals sich unverändert auf allgemeinste Fälle überträgt, z. B. auf Funk­ tionen mit Werten in einem topologischen Vektorraum V. Selbst­ verständlich muss V ein lokal-konvexer Hausdorff-Raum sein, wenn man sinnvolle Ergebnisse erwarten will. Iq diesem Fall werden Funk­ tionsbereiche folgendermassen erklärt: Es sei W c Rn X V eine offene Menge, so dass für jeden Punkt ~ERn der Durchschnitt ({d X V) n W nichtleer und konvex ist; ferner gebe es eine kompakte Menge KclR,11 mit (Rn - K) X {O} c W.