Die Nullstellen der Weierstrass'schen p-Funktion nach Martin Eichler und Don Zagier. Überlagerungstheorie und Jacobiformen (PDF)

Bachelorarbeit aus dem Jahr 2021 im Fachbereich Mathematik - Analysis, Note: 1,0, Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg, Sprache: Deutsch, Abstract: Diese Arbeit behandelt die explizite Darstellung aller Nullstellen der Weierstrass'schen p-Funktion auf Basis der von Martin Eichler und Don Zagier gewonnenen Erkenntnisse. Im ersten Abschnitt werden zunächst grundlegende, wohlbekannte Resultate aus der Funktionentheorie rekapituliert. Diese beziehen sich zum einen unmittelbar auf die Weierstrass'sche p-Funktion, und zum anderen auf die Theorie der Modulformen.

Darauf aufbauend wird die Überlagerungstheorie eingeführt, um nützliche Aussagen über die als analytisches Gebilde aufgefasste Nullstellenmenge der p-Funktion zu treffen. Es werden verzweigte und unverzweigte Überlagerungen behandelt, die die Angabe einer Laurentreihe zu der lokal definierten z0-Funktion ermöglichen. Der dritte Teil der Arbeit behandelt Jacobiformen, die als Erweiterung der Modulformen in zwei Variablen verstanden werden.

Im Zentrum steht hier, dass die p-Funktion eine meromorphe Jacobiform vom Gewicht 2 und dem Index 0 ist und dass eine konkrete Fourierentwicklung angegeben werden kann. All diese vorher erarbeitenden Erkenntnisse werden im konkreten Beweis der Nullstellenformel nach D.Zagier und M.Eichler im vorletzten Kapitel zusammengebracht. In einem kurzen, abschliessenden Ausblick wird eine weiterführende Aussagen formuliert und hervorgehoben, dass auch andere Funktionen die gleichen Nullstellen wie p(z, t ) haben können.