Chaos - A Geometry of Nature (PDF)

Studienarbeit aus dem Jahr 2005 im Fachbereich Mathematik - Geometrie, Note: 1,3, Universität Osnabrück, Veranstaltung: Seminar: Chaos - Making a new science, Sprache: Deutsch, Abstract: Es liegt in der Natur des Menschen, komplizierte Sachverhalte zu hinterfragen und zu
verstehen. So beschäftigen sich Wissenschaftler seit Jahrhunderten damit, ihre Umwelt
und vor allem dort auftauchende, scheinbar chaotische Systeme in eine geordnete und
verständliche Struktur zu bringen. Ein Beispiel hierfür ist die über zweitausend Jahre
gültige Euklidische Geometrie, die als Standardgeometrie ein Bestandteil der
klassischen Mathematik ist und unter anderem unsere Umwelt in ein ganzzahlig
dimensionales System einordnet. Sie ermöglicht z. B. Daten mittels grafischer
Instrumente aufzuarbeiten, zu veranschaulichen und daraus folgend besser analysieren
bzw. verstehen zu können.
Der Wissenschaftler Benoit Mandelbrot hat seit den sechziger Jahren mit seinen
wissenschaftlichen Forschungen und seiner Gabe, Muster und Formen intuitiv zu
erfassen, ein neues Gebiet der Geometrie erschlossen, das sich auf Grenzen der
euklidischen Dimension bezieht. Ausgangspunkt hierfür waren Überlegungen über eine
bis dahin vollkommen neue Ansicht der geometrischen Welt. Diese zeigt sich in
Gebilden mathematischer Monster wie der Koch Kurve, deren Dimensionen nach
Mandelbrot den "fraktalen Dimensionen" zugeordnet werden. Inwiefern Mandelbrots
Erkenntnisse die bis dahin gültige Wissenschaft revolutionierte und der Wissenschaft
bis zum heutigen Zeitpunkt neue, leistungsfähige Methoden bereitstellt, wird in den
folgenden Kapiteln betrachtet.
Zunächst wird in Kapitel 2 auf die Geschichte, die Euklidische Geometrie und ihre
Grenzen eingegangen. In Kapitel 3 wird die fraktale Geometrie bzw. die
gebrochenzahlige Dimension sowie die Koch Kurve dargestellt, wobei insbesondere
das Wesen einer Küstenlinie näher analysiert wird. Zudem wird auf den Begriff der
Selbstähnlichkeit eingegangen. Kapitel 4 erläutert abschliessend die Zusammenhänge
zwischen Fraktalen und der Chaostheorie und zeigt Anwendungsbereiche der fraktalen
Mathematik auf. [...]