Analysis Band 2 (PDF)

Einleitung(S. VII-VIII)

Im Laufe der Zeit hat sich herausgestellt, welche grundlegenden Tatsachen in fast allen Teilbereichen der Mathematik eine Rolle spielen, rund um unseren Globus sind die Anfängervorlesungen daher sehr ähnlich strukturiert.

Insbesondere gibt es Standards für die Analysis: Von allen Mathematikern dieser Welt wird die Kenntnis der wichtigsten Ideen rund um Limites, Differentiation und Integration vorausgesetzt. Auf die Themen, die in Band 1 noch nicht besprochen wurden, wird hier in vier Kapiteln eingegangen werden. Der Inhalt des vorliegenden zweiten Bandes der Analysis kann wie folgt zusammengefasst werden.

Zunächst behandeln wir in Kapitel 5 noch einmal Funktionen. Diesmal geht es aber nicht darum, einzelne Funktionen zu definieren oder zu untersuchen. Es soll vielmehr präzisiert werden, was es bedeuten könnte, dass eine Funktionenfolge gegen eine Funktion konvergiert. Es gibt dafür eine Reihe von sinnvollen Möglichkeiten, wir kümmern uns hauptsächlich um punktweise Konvergenz und gleichmässige Konvergenz .

In den Anwendungen wird dabei häufig die Frage wichtig, welche analytischen Eigenschaften dabei erhalten bleiben. Wir werden (unter anderem) beweisen, dass gleichmässige Limites stetiger Funktionen wieder stetig sind. Gleichmässige Konvergenz kann als Konvergenz in einem geeigneten normierten Raum interpretiert werden, dabei ergibt sich im Fall stetiger Funktionen sogar ein vollständiger Raum.

Da die Tragweite von Kompaktheitsschlüssen schon in Band 1 hinreichend deutlich geworden sein sollte, ist die Frage nahe liegend, wie man kompakte Teilmengen derartiger Funktionenräume charakterisieren kann. Das ist auf überraschend einfache Weise möglich: Der Satz von Arzel`a-Ascoli besagt, dass die Charakterisierung beinahe genauso ist wie im endlich-dimensionalen Fall. Im letzten Abschnitt des Kapitels werden dann einige berühmte Resultate bewiesen, die sich auf vollständige metrische Räume beziehen: Der Banachsche

Ehrhard Behrends ist Professor für Mathematik an der FU Berlin. Er ist Autor von zahlreichen Fachbüchern, auch setzt er sich - u.a. als Betreuer der Internetseite www.mathematik.de - intensiv für die Popularisierung von Mathematik ein. Ebenfalls bei Vieweg erschienen "Alles Mathematik" (herausgegeben mit M. Aigner) und "Fünf Minuten Mathematik".

"Das Buch schliesst mit einem fast unterhaltsamen Abschnitt über "Englisch für Mathematiker" der ebenfalls wie das gesamte Werk auch Nicht-Mathematikern zur Lektüre, zur Vertiefung und als Ergänzung zu den einschlägigen Vorlesungen empfohlen sei."
ImpulsE, 12/2007