Algorithmische Geometrie / vieweg studium; Aufbaukurs Mathematik (PDF)
Polyedrische und algebraische Methoden
In dem Lehrbuch wird eine mathematisch orientierte Einführung in die algorithmische Geometrie gegeben werden. Im ersten Teil werden "klassische" Probleme und Techniken behandelt, die sich auf polyedrische (= linear begrenzte) Objekte beziehen. Hierzu...
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Produktinformationen zu „Algorithmische Geometrie / vieweg studium; Aufbaukurs Mathematik (PDF)“
In dem Lehrbuch wird eine mathematisch orientierte Einführung in die algorithmische Geometrie gegeben werden. Im ersten Teil werden "klassische" Probleme und Techniken behandelt, die sich auf polyedrische (= linear begrenzte) Objekte beziehen. Hierzu gehören beispielsweise Algorithmen zur Berechnung konvexer Hüllen und die Konstruktion von Voronoi-Diagrammen.
Im zweiten Teil werden grundlegende Methoden der algorithmischen algebraischen Geometrie entwickelt und anhand von Anwendungen aus Computergrafik, Kurvenrekonstruktion und Robotik illustriert. Das Buch eignet sich für ein fortgeschrittenes Modul in den derzeit neu konzipierten Bachelor-Studiengängen in Mathematik und Informatik.
Im zweiten Teil werden grundlegende Methoden der algorithmischen algebraischen Geometrie entwickelt und anhand von Anwendungen aus Computergrafik, Kurvenrekonstruktion und Robotik illustriert. Das Buch eignet sich für ein fortgeschrittenes Modul in den derzeit neu konzipierten Bachelor-Studiengängen in Mathematik und Informatik.
Lese-Probe zu „Algorithmische Geometrie / vieweg studium; Aufbaukurs Mathematik (PDF)“
1 Einführung und Überblick (S. 1-3)In methodischer Hinsicht betrachten wir in diesem Buch die Geometrie von einem analytischen, also koordinatenbasierten Standpunkt aus. Dieser Zugang macht die Frage nach der Darstellung der geometrischen Daten im Rechner zumeist sehr einfach. Hierbei wollen wir uns nicht auf lineare Probleme beschränken. Dieses Vorgehen ist zum einen vom theoretischen Standpunkt aus reizvoll, zumanderen aber auch praktisch motiviert durch Fortschritte in der Computeralgebra und durch die Verfügbarkeit schneller Hardware.
In Kapitel 2 stellen wir einige Grundlagen bereit. Zunächst einmal bietet sich für viele geometrische Anwendungen die Sprache der projektiven Geometrie an. Da diese oft nicht mehr zum Standardrepertoire der Grundvorlesungen gehört, diskutieren wir kurz die benötigten Konzepte projektiver Räume und projektiver Transformationen. Darüber hinaus wird in dem Kapitel in den Konvexitätsbegriff eingeführt. Aus dem analytischen Zugang ergibt sich eine Organisation des Textes entlang der Fragestellung nach Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen und ihren Varianten steigender Komplexität in Bezug auf das notwendige mathematische Rüstzeug.
1.1 Lineare algorithmische Geometrie
Der zentrale Grundbaustein der meisten vorgestellten Algorithmen ist das Gaußsche Eliminationsverfahren. Dieses ist Gegenstand jeder Vorlesung über lineare Algebra. In geometrischer Sprechweise behandelt der Algorithmus die folgende Fragestellung: Zu gegebenen afinen Hyperebenen H1, . . . , Hk im Vektorraum Kn über einem beliebigen Körper K sei A = H1 ... Hk . (1.1) Je nach Variante wird von A als Ausgabe eine (afine) Basis oder nur die Dimension verlangt. Unser Streifzug durch die eigentliche algorithmische Geometrie beginnt mit den reellen Zahlen und dem Übergang von Gleichungen zu Ungleichungen.
Betrachtet man
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zu jeder Hyperebene dann definiert der Durchschnitt P = ki =1 H+ i ein (konvexes) Polyeder (siehe Abbildung 1.1 für ein Beispiel in R3).
Polyeder bilden ein geometrisches Grundkonzept für die algorithmische Geometrie und die lineare Optimierung. In hohen Dimensionen ist die kombinatorische Vielfalt von Polyedern erheblich größer als sich durch niedrigdimensionale Visualisierungen wie in Abbildung 1.1 erahnen lässt. Eine für die Komplexität vieler Algorithmen grundlegende Frage ist, wie viele Ecken ein durch k lineare Ungleichungen de.niertes Polyeder maximal haben kann. Dieser Sachverhalt wurde erst im Jahr 1970 durch das Upper-Bound-Theorem geklärt, dessen Beweis (in einer etwas abgeschwächten Version, siehe Satz 3.44) und die Klärung der zugrunde liegenden geometrischen Struktur ein erstes Etappenziel des Buches ist. Für die algorithmische Geometrie ist das Resultat von besonderer Bedeutung, weil sich hieraus Komplexitätsabschätzungen für einige Verfahren ergeben.
In Kapitel 3 studieren wir systematisch Eigenschaften von Polytopen (Seitenverband, Polarität, Kombinatorik von Polytopen) bis hin zur Euler-Formel und denDehn-Sommerville-Gleichungen.AmEnde des Kapitels illustrieren und visualisieren wir einige der Überlegungen mit der Geometrie-Software polymake. Diese wird auch in späteren Kapiteln zur Verdeutlichung der vorgestellten Algorithmen verwendet. Kernstück vielermathematischer Anwendungen ist die lineare Optimierung. Hierbei soll auf einem (durch lineare Ungleichungen gegebenen) Polyeder P das Minimum (bzw. Maximum) bezüglich einer linearen Zielfunktion bestimmt werden.
Für algorithmische Lösungen ist zudem zu beachten, dass das Polyeder leer sein kann, oder die Zielfunktion auf P unbeschränkt. In Kapitel 4 geben wir eine kompakte Einführung in die relevanten Aspekte der linearen Optimierung. Insbesondere diskutieren wir den sowohl theoretisch als auch praktisch wichtigen Simplex-Algorithmus.Dabei betonenwir – unserem Thema entsprechend – die geometrische Sichtweise.
Polyeder bilden ein geometrisches Grundkonzept für die algorithmische Geometrie und die lineare Optimierung. In hohen Dimensionen ist die kombinatorische Vielfalt von Polyedern erheblich größer als sich durch niedrigdimensionale Visualisierungen wie in Abbildung 1.1 erahnen lässt. Eine für die Komplexität vieler Algorithmen grundlegende Frage ist, wie viele Ecken ein durch k lineare Ungleichungen de.niertes Polyeder maximal haben kann. Dieser Sachverhalt wurde erst im Jahr 1970 durch das Upper-Bound-Theorem geklärt, dessen Beweis (in einer etwas abgeschwächten Version, siehe Satz 3.44) und die Klärung der zugrunde liegenden geometrischen Struktur ein erstes Etappenziel des Buches ist. Für die algorithmische Geometrie ist das Resultat von besonderer Bedeutung, weil sich hieraus Komplexitätsabschätzungen für einige Verfahren ergeben.
In Kapitel 3 studieren wir systematisch Eigenschaften von Polytopen (Seitenverband, Polarität, Kombinatorik von Polytopen) bis hin zur Euler-Formel und denDehn-Sommerville-Gleichungen.AmEnde des Kapitels illustrieren und visualisieren wir einige der Überlegungen mit der Geometrie-Software polymake. Diese wird auch in späteren Kapiteln zur Verdeutlichung der vorgestellten Algorithmen verwendet. Kernstück vielermathematischer Anwendungen ist die lineare Optimierung. Hierbei soll auf einem (durch lineare Ungleichungen gegebenen) Polyeder P das Minimum (bzw. Maximum) bezüglich einer linearen Zielfunktion bestimmt werden.
Für algorithmische Lösungen ist zudem zu beachten, dass das Polyeder leer sein kann, oder die Zielfunktion auf P unbeschränkt. In Kapitel 4 geben wir eine kompakte Einführung in die relevanten Aspekte der linearen Optimierung. Insbesondere diskutieren wir den sowohl theoretisch als auch praktisch wichtigen Simplex-Algorithmus.Dabei betonenwir – unserem Thema entsprechend – die geometrische Sichtweise.
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Autoren-Porträt von Michael Joswig, Thorsten Theobald
Prof. Dr. Michael Joswig, Fachbereich Mathematik, TU Darmstadt Prof. Dr. Thorsten Theobald, Institut für Mathematik, Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main.
Bibliographische Angaben
- Autoren: Michael Joswig , Thorsten Theobald
- 2008, 2008, 266 Seiten, Deutsch
- Verlag: Vieweg+Teubner Verlag
- ISBN-10: 3834894400
- ISBN-13: 9783834894403
- Erscheinungsdatum: 07.05.2008
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