Algebra für Einsteiger (PDF)
Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie
Dieses Buch ist eine leichtverständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im 16. Jahrhundert allgemeine...
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Produktinformationen zu „Algebra für Einsteiger (PDF)“
Dieses Buch ist eine leichtverständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im 16. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach fast dreihundertjähriger Suche führte dies schliesslich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint.
In der vorliegenden überarbeiteten 3. Auflage wurde jedes Kapitel um Übungsaufgaben, die zum Teil auch Lösungshilfen enthalten, ergänzt.
In der vorliegenden überarbeiteten 3. Auflage wurde jedes Kapitel um Übungsaufgaben, die zum Teil auch Lösungshilfen enthalten, ergänzt.
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8 Auflösung von Gleichungen fünften Grades (S. 89-90)Gesucht ist eine Lösung der Gleichung x5 = 2625x + 61500.
8.1. Bei der angeführten Gleichung handelt es sich wieder um ein klassisches Beispiel. Bereits Leonhard Euler erkannte 1762 anlässlich seiner Studien über die Auflösung von Gleichungen47, dass diese Gleichung zu einer Klasse von Gleichungen fünften Grades gehört, die allesamt mit Radikalen gelöst werden können.
Wie auch andere Mathematiker seiner Zeit hatte Euler versucht, die Auflösungsmethoden für Gleichungen bis zum vierten Grad auf Gleichungen fünften Grades zu übertragen. Selbst die dabei entstehenden Berge von Formeln konnten Eulers prinzipiellen Optimismus nicht erschüttern: Man darf mit ziemlicher Sicherheit vermuten, dass man bei richtiger Durchführung dieser Elimination schliesslich auf eine Gleichung vierten Grades ... kommen könnte. Ginge nämlich eine Gleichung höheren Grades hervor, so würde ... [der zuvor verwendete Zwischenwert zur Darstellung der Lösungen] selbst Wurzelzeichen dieses Grades enthalten und das erscheint widersinnig.
Bei seinen konkreten Berechnungen musste Euler allerdings zurückstecken: Weil aber die grosse Zahl der Ausdrücke diese Aufgabe so schwierig gestaltet, dass man sie nicht einmal mit einigem Erfolge in Angriff nehmen kann, so wird es ganz am Platze sein, einige weniger allgemeine Fälle zu entwickeln, die nicht auf derart komplizierte Formeln führen.
Euler weist daher den von ihm verwendeten Zwischenresultaten solche Werte" zu, welche die Rechnung abkürzen". In Wahrheit umgeht Euler damit nicht nur die rechentechnischen Schwierigkeiten sondern vor allem die prinzipielle Unmöglichkeit einer allgemeinen Auflösung. Immerhin gelangt er auf diesem Weg zu einer grossen Klasse von Gleichungen fünften Grades, die allesamt mit Radikalen aufgelöst werden können.
Da diese Klasse allerdings nicht alle auflösbaren Gleichungen fünften Grades enthält, wollen wir uns hier den
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Auflösungsbemühungen eines anderen Mathematikers zuwenden: 1771, also fast zeitgleich mit den schon erwähnten Arbeiten von Lagrange und Vandermonde, versuchte der Italiener Giovanni Francesco Malfatti (1731-1807), eine allgemeine Auflösungsformel für Gleichungen fünften Grades zu finden.
Malfatti, der später, nämlich 1804, auf der Basis seiner Erfahrungen Ruffinis erste Versuche eines Unmöglichkeitsbeweises äusserst kritisch kommentierte und somit Ruffini zu einer Überarbeitung inspirierte, gelang es, die äusserst komplizierten Berechnungen einer Resolvente sechsten Grades vollständig durchzuführen. Damit war das ursprünglich angepeilte Ziel einer allgemeinen Auflösung zwar nicht erreicht.
Allerdings merkte Malfatti an, dass in dem speziellen Fall, bei dem die Resolvente sechsten Grades eine rationale Lösung besitzt, die gegebene Gleichung fünften Grades aufgelöst werden kann. Erst mit Mitteln der Galois-Theorie konnte später gezeigt werden, dass Malfatti mit dieser Anmerkung bereits alle mit Radikalen auflösbaren Gleichungen fünften Grades charakterisiert hatte (bezogen auf die Gesamtheit der über den rationalen Zahlen irreduziblen Polynome fünften Grades).
Malfatti, der später, nämlich 1804, auf der Basis seiner Erfahrungen Ruffinis erste Versuche eines Unmöglichkeitsbeweises äusserst kritisch kommentierte und somit Ruffini zu einer Überarbeitung inspirierte, gelang es, die äusserst komplizierten Berechnungen einer Resolvente sechsten Grades vollständig durchzuführen. Damit war das ursprünglich angepeilte Ziel einer allgemeinen Auflösung zwar nicht erreicht.
Allerdings merkte Malfatti an, dass in dem speziellen Fall, bei dem die Resolvente sechsten Grades eine rationale Lösung besitzt, die gegebene Gleichung fünften Grades aufgelöst werden kann. Erst mit Mitteln der Galois-Theorie konnte später gezeigt werden, dass Malfatti mit dieser Anmerkung bereits alle mit Radikalen auflösbaren Gleichungen fünften Grades charakterisiert hatte (bezogen auf die Gesamtheit der über den rationalen Zahlen irreduziblen Polynome fünften Grades).
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Autoren-Porträt von Jörg Bewersdorff
Dr. Jörg Bewersdorff promovierte im Fach Mathematik an der Universität Bonn. Ebenfalls bei Vieweg erschien sein populäres Buch "Glück, Logik und Bluff", in dem ein Überblick über die Mathematik von Spielen und deren historische Entwicklung gegeben wird.
Bibliographische Angaben
- Autor: Jörg Bewersdorff
- 2007, 3.Aufl. 2007, Deutsch
- Verlag: Vieweg+Teubner Verlag
- ISBN-10: 3834892041
- ISBN-13: 9783834892041
- Erscheinungsdatum: 10.12.2007
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eBook Informationen
- Dateiformat: PDF
- Grösse: 1.56 MB
- Ohne Kopierschutz
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Pressezitat
Zur 2. Auflage:"Der Autor behandelt die Auflösung von (algebraischen) Gleichungen, jedoch nicht wie heute üblich in der Art, möglichst schnell die Galoistheorie anzustreben ... sondern er nimmt die geschichtliche Entwicklung ... als Leitlinie und schreitet anhand ganz konkreter Fragestellungen voran. ... Erst am Ende des Buches wird der Übergang zur modernen Fassung der Galoistheorie dargestellt, mit kurzen Einführungen in die nötige Gruppen- bzw. Körpertheorie. Das Buch, für das bereits nach zwei Jahren eine Neuauflage notwendig wurde, kann Studenten ab dem 1. Semester bestens empfohlen werden und ist durchaus auch für mathematisch interessierte Laien geeignet."
Monatshefte für Mathematik, 04/2005
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