Die Grundlagen der Arithmetik

1 In der Mathematik ist in neuererZeitein auf die Strenge der Beweise und scharfe Fassung der Begriffe gerichtetes Bestreben erkennbar 2 Die Prüfung muss sich schliesslich auch auf den Begriff der Anzahl erstrecken. Zweck des Beweises 3 Philosophische Beweggründe für solche Untersuchung: die Streitfragen, ob die Gesetze der Zahlen analytische oder synthetische Wahrheiten, a priori oder a posteriori sind. Sinn dieser Ausdrücke 4 Die Aufgabe dieses Buches I. Meinungen einiger Schriftsteller über die Natur der arithmetischen SätzeSind die Zahlformeln beweisbar? 5 Kant verneint dies, was Hanke! mit Recht paradoxnennt 6 Leibnizens Beweis von 2 + 2 = 4 hat eine Lücke. Grassmanns Definition von a + b ist fehlerhaft 7 Mills Meinung, dass die Definitionen der einzelnen Zahlen beobachtete Tatsachen behaupten, aus denen die Rechnungen folgen, ist unbegründet 8 Zur Rechtmässigkeit dieser Definitionen ist die Beobachtung jener Tatsachen nicht erforderlich Sind die Gesetze der Arithmetik induktive Wahrheiten? 9 Mills Naturgesetz. Indem Mill arithmetische Wahrheiten Naturgesetze nennt, verwechselt er sie mit ihren Anwendungen 10 Gründe dagegen, dass die Additionsgesetze induktive Wahrheiten sind: Ungleichartigkeit der Zahlen; wir haben nicht schon durch die Definition eine Menge gemeinsamer Eigenschaften der Zahlen; die Induktion ist wahrscheinlich umgekehrt auf die Arithmetik zu gründen 11 Leibnizens »Eingeboren«. Sind die Gesetze der Arithmetik synthetisch apriori oder analytisch? 12 Kant. Baumann. Lipschitz. Hanke!. Die innere Anschauung als Erkenntnisgrund 13 Unterschied von Arithmetik und Geometrie 14 Vergleichung der Wahrheiten in bezug auf das von ihnen beherrschte Gebiet 15 Ansichten von Leibniz und St. Jevons 16 Dagegen Mills Herabsetzung des »kunstfertigen Handhabens der Sprache«Die Zeichen sind nicht darum leer, weil sie nichts Wahrnehmbares bedeuten 17 Unzulänglichkeit der Induktion. Vermutung, dass die Zahlgesetze analytische Urteile sind; worin dann ihr Nutzen besteht.