Elementare und algebraische Zahlentheorie (PDF)

Vorwort (S. VII-VIII)

Der Ausgangspunkt dieses Buches war ein gemeinsam entwickeltes Vorlesungsskript der beiden Autoren, das eine anschauliche Darstellung der Grundbegriffe der elementaren und algebraischen Zahlentheorie zum Ziel hatte. Dabei standen die theoretischen Aspekte zwar im Vordergrund, aber der Stoff sollte immer durch Beispiele und explizite Algorithmen konkretisiert werden. Der rote Faden dieses Buches ist die Losungstheorie diophantischer Gleichungen, d.h. die Suche nach ganzzahligen oder rationalen Losungen von Polynomgleichungen in mehreren Variablen. Dabei stehen die quadratischen Gleichungen im Mittelpunkt, um den Stoff elementar zu halten.

Das Buch führt dazu in mehrere Techniken ein. In der Kongruenzrechnung versucht man, eine Gleichung zuerst modulo einer natürlichen Zahl n zu losen. Dabei bietet es sich an, für n eine Primzahlpotenz pk zu wählen, weil man die Losungen zu verschiedenen Primzahlpotenzen mit dem chinesischen Restsatz zusammensetzen kann. Der Grenzübergang von k nach unendlich führt zu den /7-adischen Zahlen. An Hand der quadratischen Formen wird demonstriert, wie aus Losungen über den /7-adischen Zahlen auf eine Losung über den rationalen Zahlen geschlossen werden kann. Einige diophantische Gleichungen werden durch spezielle Techniken effektiver gelost, so helfen Kettenbruche bei der Losung der Pellschen Gleichung x2 - dy2 = 1 für deK

Eine andere Methode neben der Kongruenzrechnung besteht darin, solche Gleichungen zunachst nicht liber den ganzen Zahlen, sondern liber einem etwas grösseren Ring zu betrachten. Zum Beispiel faktorisiert die Pellsche Gleichung bereits über dem Zahlring Z [y/d als (x + y/dy)(x — [dy) — 1. Durch die Beobachtung, dass beide Faktoren Einheiten sind, wird aus der Suche nach Losungen eine Suche nach Einheiten in Z [y/d].

Welche Erweiterungsringe von Z für solche Betrachtungen geeignet sind und welche Eigenschaften diese haben, wird in der algebraischen Zahlentheorie

Prof. Dr. Stefan Müller-Stach und Priv.-Doz. Dr. Jens Piontkowski lehren an der Universität Mainz.

"Die klare Darstellung des Stoffes, sowie Aufgaben mit Hinweisen am Ende des Buches, ermöglichen es Studenten, sich den Inhalt auch im Selbststudium anzueignen."
Zentralbalt MATH 1127, 11001