Analysis 2 - Ein Lehr- und Arbeitsbuch
Mit einer Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung
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Klappentext zu „Analysis 2 - Ein Lehr- und Arbeitsbuch “
47 n l1 ,; Ilvll . Ilwll fUr alle v,wE lR sondere den Paragraphen 4 (ab Seite 34) inten siv studieren und sich stets den Fall n=3 ver Ziel 6 oder im Koordinatenschreibweise: 1 1 anschaulichen. Sie sollten wissen, was ein Nor Ziel 7 n n 2"2 n 2"2 (l:v.) ([w.) I r. v. w. I " malenvektor zu einer (Hyper-)Ebene ist (Defini i=1 1. 1. i=1 1. i=1 1. tion (16.27), Seite 35), wie alle Normalenvek toren "aussehen" (Satz (16.30), Seite 36), und Ziel 3 Die Ungleichung von Cauchy und Schwarz sollten wie man den Abstand d eines Punktes p von einer Sie eben so gut kennen wie die Dreiecksunglei (Hyper-)Ebene E berechnet ((16.35), Seite 37). chung (16.13), Seite 31: 1st E in Hessescher Normalform gegeben, also Ilu+vll,;llull + Ilvll fUr alle u,v E lRn. n E={xElR I =c} mit II a II = 1, Als spezieller Winkel zwischen Vektoren ist der so gilt rechte Winkel ausfUhrlich untersucht worden d= Ic-1 . (ab Seite 32). Die Definition (16.15), Seite 32, Die auf den Seiten 38 bis 41 ausfUhrlich be Ziel 4 der OrthogonalitHt mUssen Sie kennen. schriebene Methode der kleinsten Quadrate wer Ziel 5 Sie sollten wissen, was man unter einer Ortho den Sie im Laufe Ihres Studiums sicher noch gonal- oder Orthonormalbasis eines Unterraumes hHufig auf konkrete MeBreihen anwenden mUssen.
Inhaltsverzeichnis zu „Analysis 2 - Ein Lehr- und Arbeitsbuch “
15. Der Vektorraum IRN.- 1 Der IRn und seine anschaulichen Deutun- gen im Falle n=2 und n=3.- Anschauliche Deutungen des IR3.- 2 Lineare Funktionen und ihre Niveaumengen.- Der Graph linearer Funktionen.- Niveaumengen.- 3 Geraden und Ebenen.- Geraden als Durchschnitt zweier Ebenen.- Durchstosspunkt einer Geraden durch eine Ebene.- 4 Unterräume des IRn.- Der Unterraum No(f).- Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit.- Basis und Dimension.- Zusammenfassung.- 16. Das Skalarprodukt.- 1 Definition und elementare Eigenschaften des Skalarproduktes.- 2 Die Länge von Vektoren.- Kugeln und Sphären im IRn.- Die Ungleichung von Cauchy und Schwarz.- 3 Orthogonalität von Vektoren des IRn.- Orthonormalbasen.- 4 Normalenvektoren zu Hyperebenen des IRn.- Die Methode der kleinsten Quadrate in der Ausgleichsrechnung.- 5 Winkelmessung im IRn.- Projektionen.- 6 Anhang: Skalarprodukt auf cn.- Zusammenfassung.- 17. Das Vektorprodukt.- 1 Definition und Eigenschaften des Vektorproduktes.- Ein Beispiel aus der ElektrizitäTSLEHRE.- Ein Beispiel aus der Mechanik.- 2 Das Spatprodukt.- 3 Das Spatprodukt als Determinante.- 4 Geometrische Anwendungen von Vektor- und Spatprodukt.- Zusammenfassung.- 18. Matrizen.- 1 Definition einer Matrix.- Die Koeffizientenmatrix eines Glei-chungssystems.- Gleichungssystem als Matrizengleichung.- 2 Lineare Abbildungen.- 3 Matrizenmultiplikation.- 4 Addition und S-Multiplikation Für Matrizen.- 5 Der Rang einer Matrix.- Spaltenrang und Zeilenrang einer Matrix.- Elementare Spalten- und Zeilenumformungen.- Zusammenfassung.- 19. Lineare Gleichungssysteme.- 1 Begriffserklärungen.- 2 Ein Lösungsverfahren.- Elementare Zeilenumformungen.- Die Zeilennormalform.- Der Gauss-Jordan-Algorithmus.- 3 Anwendung des Gauss-Jordan-Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme.- Ein Lösbarkeitskriterium.- Die Lösungen.- 4 Homogene und inhomogene Systeme.- 5 Eine weitere Anwendung des Gauss-Jordan-Algorithmus.- Berechnung der inversen Matrix.- 6 Anhang: Fixpunkte linearer Abbildungen.-
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Zusammenfassung.- 20. Determinanten.- 1 Definition und Eigenschaften.- Der Entwicklungssatz.- Berechnung von Determinanten.- 2 Invertierbare Matrizen.- Invertierbarkeits-Kriterium und Produktsatz.- Inversen-Berechnung.- Die Cramersche Regel.- Zusammenfassung.- 21. Differentiation Im IRN.- 1 Funktionen im IRn.- Beispiele.- Veranschaulichung.- 2 Partielle Differenzierbarkeit.- Partielle Funktionen.- Offene Mengen.- Partielle Ableitungen.- 3 Stetigkeit.- Folgen im IRn.- Stetige Funktionen IRn?IR.- Stetige Vektorfelder.- 4 Partielle Differenzierbarkeit und Stetigkeit.- Stetig partiell differenzierbare Funktionen.- Ein Spezialfall der Kettenregel.- Partiell differenzierbare Vektorfelder Der Gradient.- Der Gradient.- 5 Geometrie.- Kurven und Tangenten.- Richtungsableitungen.- Gradient und Niveaumengen.- 6 Totale Differenzierbarkeit.- Lineare Approximation stetig partiell differenzierbarer Funktionen.- Total differenzierbare Vektorfelder.- Die Kettenregel.- Zusammenfassung.- 22. Anwendungen Der Differentialrechnung Im IRN.- 1 Höhere partielle Ableitungen.- Rotation, Divergenz, Laplace-Operator.- Die Taylor-Formel.- 2 Lokale Extrema.- Notwendige Bedingung.- Hinreichende Bedingung.- Extrema unter Nebenbedingungen.- 3 Nicht-lineare Gleichungssysteme.- Eindeutige Auflösbarkeit.- Implizite Funktionen.- Zusammenfassung.- 23. Kurvenintegral und Potential.- 1 Gerichtete Kurven.- Parameterwechsel.- 2 Das Kurvenintegral.- Arbeit.- Definition des Kurvenintegrals.- Rechenregeln für Kurvenintegrale.- 3 Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen und Potential.- Der Hauptsatz für Kurvenintegrale.- Potentiale und ihre Konstruktion.- 4 Bogenlänge und Kurvenintegrale über Skalarfelder.- Definition der Bogenlänge.- Kurvenintegrale über Skalarfelder.- Zusammenfassung.- 24. Differentialgleichungen.- 1 Definitionen und theoretische Grundlagen.- Richtungsfeld.- Anfangswertproblem.- 2 Existenz- und Eindeutigkeitsfragen.- Näherungsverfahren.- Der Satz von Picar-Lindelöf.- 3 Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung.- Separable Differentialgleichungen.- Einführung neuer Variablen.- Die lineare Differentialgleichung erster Ordnung.- Bernoulli'sche und Riccati'sche Differentialgleichung.- Exakte Differentialgleichungen.- Kurze Zusammenfassung.- 4 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- Lösung der inhomogenen Differential-gleichung.- Randwertprobleme.- Zusammenfassung.- Lösungen der Aufgaben.
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Bibliographische Angaben
- Autoren: Universität Kaiserslautern , Winfried G. Eschmann , Arndt Blickensdörfer-Ehlers , Klaus Schelkes
- 1998, 3. Aufl., XI, 316 Seiten, 4 Abbildungen, Masse: 21,6 x 29,7 cm, Kartoniert (TB), Deutsch
- Verlag: Springer, Berlin
- ISBN-10: 3540641181
- ISBN-13: 9783540641186
- Erscheinungsdatum: 09.03.1998
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