Algebraische Geometrie

I. Affine Hyperflächen.- 1. Algebraische Mengen.- Nullstellengebilde von Polynomen.- Der Kreis im Komplexen.- Komplexe, reelle und rationale Nullstellen.- 2. Elementare Eigenschaften von Polynomen.- Der Identitätssatz für Polynome.- Homogene Teile von Polynomen.- Taylor-Entwicklung und Vielfachheit.- Zerlegung in Linearfaktoren.- Stetigkeit der Nullstellen.- 3. Vielfachheit und Singularitäten.- Vielfachheit von Punkten auf Hyperflächen.- Die Neillsche Parabel z31 = z22.- Zur Entstehung von Singularitäten.- Die Schnittvielfachheit mit Geraden.- 4. Tangentialkegel und Grad.- Der Begriff der Tangente.- Der Tangentialkegel.- Die Vielfachheit von Tangenten.- Einige Flächen in ?3.- Tangentialkegel ebener Kurven.- Grad und Schnittvielfachheit.- II. Affine Varietäten.- 5. Der Polynomring.- Ringe.- Ideale.- Noethersche Ringe.- Der Nullstellensatz.- Zerlegung in Primfaktoren.- 6. Zariski-Topologie und Koordinatenringe.- Die Zariski-Topologie.- Noethersche Räume.- Zerlegung in irreduzible Komponenten.- Reguläre Funktionen.- Der Koordinatenring einer affinen algebraischen Menge.- Der relative Standpunkt.- 7. Morphismen.- Der Begriff des Morphismus.- Quasiaffine und affine Varietäten.- Morphismen zwischen affinen Varietäten.- Dominante Morphismen, abgeschlossene Einbettungen.- Beispiele von Morphismen.- Nenneraufnahme.- Reguläre Funktionen und elementare offene Mengen.- Affine Morphismen.- 8. Lokale Ringe, Produkte.- Funktionskeime und lokale Ringe.- Lokalisierung von Ringen.- Die lokale Struktur quasiaffiner Varietäten.- Produkte von quasiaffinen Varietäten.- Produkte von Morphismen.- Die Diagonaleinbettung.- III. Endliche Morphismen und Dimension.- 9. Ganze Erweiterungen.- Ein Beispiel zur Problematik des Dimensionsbegriffs.- Moduln.- Noethersche Moduln.- Ganze Erweiterungen.- Ideale und ganze Erweiterungen.- Primidealketten und ganze Erweiterungen.- Normale Ringe.- Ganze Erweiterungen von normalen Ringen.- Endliche Morphismen.- 10. Dimensionstheorie.- Der Transzendenzgrad.-